2023 Tác giả: Bryan Walter | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-05-21 22:30
Trong cuốn sách Toán học kỳ lạ này. On the Edge of Infinity and Beyond It "(Nhà xuất bản Corpus), được dịch sang tiếng Nga bởi Alexei Glushchenko, nhà thiên văn học David Darling và nhà toán học Agnijo Banerjee nói về cách các nghiên cứu toán học về số nguyên tố, vô cực và hỗn loạn liên quan đến các vấn đề của thực. thế giới - và nói về, nơi chúng ta nên mong đợi những khám phá mới trong tương lai gần. N + 1 mời độc giả của mình đọc một đoạn văn về nghiên cứu của vô cực và kết quả mà các nhà khoa học đã đạt được trong lĩnh vực này.
Bạn không thể đến đó từ đây
Tính vô hạn trong toán học luôn không thể kiểm soát được
cho đến khi bạn bắt đầu xử lý nó đúng cách.
James Newman
Tôi không thể tự giúp mình - chống lại ý muốn của tôi
vô cùng dày vò tôi.
Alfred de Musset
Không gian có giới hạn không? Thời gian có bắt đầu và có bao giờ kết thúc? Có số lớn nhất không? Ngay cả khi còn là một đứa trẻ, chúng ta cũng hỏi những câu hỏi như vậy. Không sớm thì muộn, bất kỳ người nào cũng phát triển sự quan tâm đến vô cùng. Nhưng vô cực không phải là một khái niệm mơ hồ và mơ hồ nào đó, mà là một đối tượng nghiên cứu khắt khe. Và kết quả của những nghiên cứu này đôi khi ngược đời đến mức khó tin.
Sự vô hạn là chủ đề tranh luận của các nhà triết học, thần học và phê bình nghệ thuật. Nghệ sĩ guitar kiêm nhà soạn nhạc jazz người Mỹ Pat Matini từng nói: "Ở các nhạc sĩ, tôi tìm kiếm cảm giác vô cùng". Nhà thơ và nghệ sĩ người Anh William Blake tin rằng những cảm giác của chúng ta ngăn cản chúng ta đánh giá đúng bản chất của sự vật và rằng "nếu cánh cửa nhận thức được làm sạch, tất cả những gì tồn tại sẽ xuất hiện với con người như nó vốn có - vô hạn." Nhà văn người Pháp Gustave Flaubert đã cảnh báo về mối nguy hiểm đang chờ đợi những ai nghĩ quá nhiều về nó: “Càng tiến gần đến vô cực, bạn càng chìm vào nỗi kinh hoàng”.
Các nhà khoa học cũng phải đối mặt với sự vô hạn theo thời gian, và những cuộc gặp gỡ này không phải lúc nào cũng dễ chịu. Vào những năm 1930, các nhà vật lý lý thuyết, khi nghiên cứu các đặc tính của các hạt cơ bản, đã phát hiện ra rằng các giá trị thu được trong các phép tính tăng lên đến vô cùng, hay nói cách khác, có xu hướng như vậy. Điều này đã xảy ra, chẳng hạn, khi bán kính electron được coi là không, vì nó theo kết quả của các thí nghiệm về sự tán xạ electron-electron. Các tính toán cho thấy rằng năng lượng của điện trường xung quanh hạt trong trường hợp này là lớn vô hạn, điều này là vô lý. Sự nhầm lẫn cuối cùng đã được tránh bằng một thủ thuật toán học được gọi là tái chuẩn hóa. Đây là một thủ thuật tiêu chuẩn trong cơ học lượng tử ngày nay, mặc dù một số nhà vật lý vẫn còn bối rối bởi tính chất tùy ý của nó.
Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra ở đầu bên kia của thang đo vật lý. Các nhà vũ trụ quan tâm đến việc liệu kích thước của vũ trụ có giới hạn hay nó có kéo dài vô tận theo mọi hướng hay không. Chúng ta chỉ không biết điều đó ngày nay. Phần vũ trụ mà chúng ta có thể nhìn thấy (ít nhất là về nguyên tắc) - cái gọi là vũ trụ có thể quan sát được - có bề rộng xấp xỉ 92 tỷ năm ánh sáng, trong đó một năm ánh sáng là khoảng cách ánh sáng truyền đi trong một năm. Vũ trụ có thể quan sát được là một phần của toàn bộ Vũ trụ mà từ đó ánh sáng đã đến được Trái đất kể từ vụ nổ Big Bang. Bên ngoài nó, có thể có một không gian lớn hơn nhiều, có thể là vô hạn, mà chúng ta đơn giản là không thể tiếp cận bằng bất kỳ phương tiện nào.
Kể từ khi Einstein phát triển thuyết tương đối rộng, chúng ta đã biết rằng không gian mà chúng ta đang sống có thể bị cong, chẳng hạn như bề mặt của một hình cầu có dạng cong - điểm khác biệt duy nhất là không gian của chúng ta có ba chiều chứ không phải hai. Nói một cách chặt chẽ hơn, không-thời gian (và chúng liên kết chặt chẽ với nhau) không phải lúc nào cũng tuân theo các quy tắc hình học quen thuộc với chúng ta từ thời đi học. Chúng ta biết chắc rằng ở quy mô cục bộ, không-thời gian bị cong: xung quanh bất kỳ vật thể nào có khối lượng, chẳng hạn như Mặt trời hoặc Trái đất, nó sẽ uốn cong như một tấm cao su nếu bạn đặt một tải trọng lên nó. Nhưng liệu toàn bộ Vũ trụ là cong (phi Euclid) hay phẳng, chúng ta vẫn chưa biết. Các nhà vũ trụ học rất quan tâm đến điều này, vì số phận của nó cuối cùng phụ thuộc vào hình dạng của Vũ trụ.
Nếu Vũ trụ cong trên quy mô toàn cầu, thì nó có thể có hình dạng khép kín - giống như một quả cầu hoặc một chiếc bánh rán. Khi đó kích thước của nó sẽ bị giới hạn, mặc dù bạn có cố gắng đến đâu đi chăng nữa thì vẫn không thể đạt được cột mốc hay mức cạnh. Một lựa chọn khác là Universe dưới dạng một loại yên ngựa, tiếp tục vô thời hạn. Trong trường hợp này, nó có thể là "mở" và mở rộng vô hạn, hoặc vẫn có kích thước hữu hạn. Ngoài ra, vũ trụ nói chung có thể phẳng - và một lần nữa là hữu hạn hoặc vô hạn. Bất kể lựa chọn nào trong số các lựa chọn đều đúng, nếu ngay từ đầu Vũ trụ có một kích thước hữu hạn, thì nó sẽ vẫn như vậy (mặc dù nó có thể tiếp tục phát triển), và nếu nó là vô hạn, thì nó đã luôn như thế này..
Thoạt nhìn, ý tưởng cho rằng Vũ trụ luôn là vô hạn, mâu thuẫn với lý thuyết được chấp nhận chung về Vụ nổ lớn, theo đó sự giãn nở của vật chất và năng lượng xảy ra từ một vùng ban đầu nhỏ hơn nhiều so với kích thước của một nguyên tử. Nhưng trên thực tế, không có gì mâu thuẫn: vùng ban đầu nhỏ bé này chỉ thể hiện bằng kích thước của Vũ trụ có thể quan sát được (vùng được xác định bởi khoảng cách mà ánh sáng có thể bao phủ) một tích tắc sau Vụ nổ lớn. Vũ trụ nói chung có thể đã là vô hạn ngay từ đầu, mặc dù nó sẽ không thể nhìn thấy được. Thực tế rằng lựa chọn khác - cả vũ trụ vô hạn trong không gian và thời gian, và hữu hạn - không dễ dàng nắm bắt được với tâm trí, nhưng có lẽ vẫn còn khó khăn hơn để hình dung một Vũ trụ hữu hạn. Như nhà triết học Thomas Paine đã viết: “Thật khó để hiểu rằng không gian không có điểm kết thúc, nhưng càng khó hiểu hơn về sự hữu hạn của nó. Trên cả sức mạnh của con người để hiểu được phạm vi vĩnh cửu của cái mà chúng ta gọi là thời gian, nhưng càng không thể tưởng tượng được một thời điểm sẽ không có thời gian."
Dữ liệu được các nhà thiên văn thu thập cho đến nay từ việc nghiên cứu các thiên hà xa xôi cho thấy vũ trụ là phẳng và vô hạn. Tuy nhiên, chính xác từ "vô hạn" có nghĩa là gì trong mối quan hệ với không gian và thời gian trong vũ trụ thực thì không hoàn toàn rõ ràng. Chúng ta sẽ không bao giờ có thể chứng minh bằng các phép đo trực tiếp rằng không gian và thời gian không có điểm kết thúc, bởi vì chúng ta sẽ không bao giờ có thể nhận được thông tin từ một khoảng cách vô tận. Một khó khăn khác là bản chất của không gian và thời gian. Các nhà vật lý học tin rằng có một khoảng cách tối thiểu có thể và một thời gian tối thiểu có thể, được gọi là độ dài Planck và thời gian Planck, tương ứng. Nói cách khác, không gian và thời gian không liên tục mà có bản chất lượng tử hóa, dạng hạt. Chiều dài Planck chỉ rất nhỏ, chỉ 1,6 × 10–35 mét, hoặc một trăm tỷ tỷ kích thước của một proton. Và thời gian Planck, tức là khoảng thời gian mà ánh sáng đi được một quãng đường bằng độ dài Planck, là không đáng kể - nhỏ hơn 10–43 giây. Chưa hết, do sự tồn tại của sự rời rạc này của không-thời gian, người ta phải rất cẩn thận khi nói về tính vô hạn trong bối cảnh của vũ trụ vật chất. Như các nhà toán học đã phát hiện ra, không phải tất cả các số vô hạn đều giống nhau.
Các nhà triết học Hy Lạp và Ấn Độ thời cổ đại là những người đầu tiên viết ra suy nghĩ của họ về sự vô hạn cách đây hai nghìn năm. Anaximander vào thế kỷ VI trước Công nguyên đã coi nguồn gốc khởi nguồn của vạn vật là "apeiron" ("vô cực"). Một thế kỷ sau, đồng hương của ông là Zeno ở Elea (khu vực ngày nay được gọi là Lucania ở miền nam nước Ý) lần đầu tiên nhìn vào vô cực từ quan điểm toán học.
Zeno là người đầu tiên cảm nhận được mối nguy hiểm mà sự vô hạn đang trải qua. Những nghịch lý được ông mô tả, trong đó nổi tiếng nhất là Achilles cạnh tranh trong một cuộc chạy đua với một con rùa, đã gây ra lo ngại. Tự tin vào chiến thắng của mình, người anh hùng thần thoại của chúng ta cho con rùa ra đầu thú. Nhưng làm thế nào, Zeno hỏi, Achilles có thể vượt qua một loài bò sát nhàn nhã? Rốt cuộc, cho đến khi đến nơi con rùa bắt đầu hành trình, nó sẽ bò về phía trước. Vào thời điểm Achilles đã vượt qua khoảng cách mới ngăn cách họ, con rùa sẽ còn tiến xa hơn nữa. Và như vậy, ad infinitum. Dù Achilles có chạy đến chỗ con rùa vừa ở đi chăng nữa thì mỗi lần như vậy nó sẽ có thể đi xa hơn một chút. Rõ ràng, có một sự khác biệt nhất định giữa cách chúng ta đôi khi tưởng tượng về sự vô hạn và cách mọi thứ diễn ra trong thực tế. Bản thân Zeno đã rất xấu hổ và bối rối trước nghịch lý này và những nghịch lý khác, đến nỗi không những quyết định không nghĩ đến sự vô hạn nữa mà còn đi đến kết luận rằng chuyển động là không thể!
Một cú sốc tương tự đã được trải qua bởi Pythagoras và những người theo ông, tin rằng mọi thứ trong vũ trụ cuối cùng có thể được mô tả bằng các con số nguyên. Rốt cuộc, ngay cả các phân số bình thường cũng chỉ là một số nguyên chia cho một số khác. Nhưng căn bậc hai - độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông với mỗi chân một cạnh - không phù hợp với sơ đồ vũ trụ hài hòa này. Đó là một số "vô tỉ", không thể diễn tả được bằng tỷ số của hai số nguyên. Nếu bạn cố gắng biểu diễn nó dưới dạng một phân số thập phân, số chữ số thập phân sẽ tăng lên đến vô cùng và bất kỳ nhóm số lặp lại rõ ràng nào sẽ không phát sinh. Người Pytago không biết tất cả những điều tinh tế này, họ chỉ lo lắng rằng một con quái vật thấp hèn dưới dạng căn bậc hai của 2 đã len lỏi vào thế giới hoàn hảo của họ, và do đó họ cẩn thận che giấu sự tồn tại của nó.
Hai ví dụ này minh họa cho vấn đề cơ bản liên quan đến việc lĩnh hội tính vô hạn. Trí tưởng tượng của chúng ta dễ dàng đối phó với những gì chưa đạt được: chúng ta luôn có thể tưởng tượng cách bất kỳ khoảng cách nào được tăng thêm một bậc, một khoảng cách khác được thêm vào bất kỳ số lượng vật thể nào. Nhưng vô hạn trong một ý nghĩa khái quát, như một khái niệm, không phù hợp với đầu. Các nhà toán học từ lâu đã chiến đấu với nó, bởi vì họ đã quen với lĩnh vực của họ để xử lý các đại lượng chính xác và các khái niệm được xác định cẩn thận. Và làm thế nào bạn có thể làm việc với các đối tượng chắc chắn tồn tại, nhưng không bao giờ kết thúc - với một số như √2 (bắt đầu bằng 1, 41421356237 … và tiếp tục ngày càng xa hơn mà không có thứ tự rõ ràng và số lần lặp lại có thể dự đoán được) hoặc một đường cong ép vào đường thẳng mọi thứ ngày càng gần hơn - đồng thời tránh gặp nhau với vô cực? Aristotle đề xuất một giải pháp khả thi, cho rằng có hai loại vô hạn. Theo Aristotle, vô cực “thực tế” (hay “hoàn thành”), mà theo Aristotle, không tồn tại trong thực tế, là một vô hạn được thực hiện đầy đủ, thực sự đạt được (về mặt toán học hoặc vật lý) tại một thời điểm nào đó. Tính vô hạn “tiềm tàng”, mà Aristotle tin rằng được biểu hiện rõ ràng trong tự nhiên - ví dụ, trong sự luân phiên vô tận của các mùa hoặc khả năng phân chia vô hạn của một thỏi vàng (ông không biết về nguyên tử) - là sự vô hạn diễn ra trong vô hạn. thời gian. Sự phân biệt cơ bản giữa thực tế và tiềm năng vô hạn đã tồn tại trong toán học hơn hai nghìn năm.
Vào năm 1831, chính Karl Gauss đã nói về "nỗi kinh hoàng của sự vô hạn thực tế" như sau:
… Tôi phản đối việc sử dụng một đại lượng vô hạn như một đại lượng hoàn chỉnh, điều không bao giờ được phép trong toán học. Cái vô hạn chỉ là một mặt tiền, trong khi nó thực sự là một câu hỏi về các giới hạn mà các quan hệ nhất định tiếp cận một cách tùy ý đóng lại, trong khi những quan hệ khác được phép phát triển mà không bị hạn chế.
* Hình của bài phát biểu (fr.).
Giới hạn bản thân trong việc nghiên cứu tiềm năng vô hạn, các nhà toán học đã có thể phát triển các khái niệm quan trọng như chuỗi vô hạn, giới hạn và đại lượng thập phân, do đó đi đến phân tích toán học, nhưng không thừa nhận vô hạn như một đối tượng toán học độc lập. Chưa hết, ngay cả trong thời Trung cổ, họ đã phải đối mặt với những nghịch lý và những vấn đề không thể giải quyết, điều đó có nghĩa là sự vô hạn thực tế không thể đơn giản bị gạt bỏ. Những vấn đề nan giải này nảy sinh từ nguyên tắc rằng tất cả các phần tử của một tập đối tượng có thể tìm thấy một cặp trong một tập đối tượng khác có cùng kích thước. Nhưng khi họ cố gắng áp dụng nguyên tắc này cho các tập hợp lớn vô hạn, nó công khai mâu thuẫn với ý tưởng thông thường được Euclid thể hiện đầu tiên: rằng tổng thể luôn lớn hơn bất kỳ phần nào của nó. Ví dụ, có vẻ như hoàn toàn có thể tạo thành các cặp của tất cả các số nguyên dương và chỉ những cặp số đó chẵn: đối lập từ một đến hai, hai đến bốn, ba đến sáu, v.v., mặc dù thực tế là các số nguyên dương cũng bao gồm cả số chẵn. Galileo, người đã nghiên cứu vấn đề này, là người đầu tiên đề xuất một cách tiếp cận giác ngộ hơn đối với vô cực, ông nói rằng: "Vô cực phải tuân theo một số học khác với số hữu hạn."
Khái niệm về tiềm năng vô hạn ru ngủ sự cảnh giác của chúng ta, buộc chúng ta nghĩ rằng bạn có thể tiến gần hơn đến vô cực - bạn chỉ cần đi xa hơn hoặc đi lâu hơn một chút. Và điều này không khác xa với huyền thoại phổ biến rằng vô cực chỉ là một cái gì đó giống như một con số rất lớn và một nghìn tỷ hoặc, một nghìn tỷ nghìn tỷ bằng cách nào đó gần với vô hạn hơn, giả sử, 10 hoặc một nghìn. Thật ra, đây không phải vấn đề. Bất kể bạn di chuyển dọc theo trục số bao nhiêu, cho dù bạn có bao nhiêu lần đếm, bạn cũng không thể đưa một iota đến gần vô cùng hơn. Số 1 ở xa vô cùng (hoặc gần bằng) như bất kỳ số hữu hạn nào khác, cho dù chúng ta có thể có đủ trí tưởng tượng để gọi tên đến mức nào đi chăng nữa. Hơn nữa, trong bất kỳ con số nào, dù nhỏ đến đâu thì cũng đã có vô cùng, vì vậy việc di chuyển tới càng nhiều 2 số trong 2 lần tìm kiếm nó là một sự kiện hoàn toàn vô ích. Điểm mấu chốt là vô hạn thậm chí tồn tại, ví dụ, trong khoảng từ 0 đến 1, vì nó chứa vô số phân số: ½, ⅓, ¼, v.v. Vô cực không liên quan gì đến số lượng hữu hạn khổng lồ. Để làm việc với nó, chúng tôi sẽ phải thoát ra khỏi sự giam cầm của chúng, ngừng sử dụng chúng làm công cụ để chúng tôi hiểu.
